miércoles, 11 de junio de 2014

Incremento de una Función

Para funciones de una variable $\,y = f(x)\,$, se define el incremento de $\,y\,$ como 
\begin{displaymath}\Delta y \, = \, f(x + \Delta x) - f(x) \end{displaymath}

y la diferencial de $\,y\,$ como 
\begin{displaymath}dy\,=\,f'(x)dx\end{displaymath}

$\,\Delta y\,$ representa el cambio en la altura de la curva $\,y\,=\,f(x)\,$ y $\,dy\,$ representa la variación en $\,y\,$ a lo largo de la recta tangente cuando $\,x\,$ varía en una cantidad $\,dx\,=\, \Delta x\,$.
En la siguiente figura se muestra $\,df\, \, \mbox{y} \, \, \Delta f\,$.
Figura 1: diferencial
 

Observe que $\,\Delta y - dy\,$ se aproxima a cero más rápidamente que $\,\Delta x\,$, ya que 
$\,\displaystyle{\epsilon\,= \, \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x ... ...x)\Delta x}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x)}\,$
y al hacer $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$, tenemos que $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$. 
Por tanto
\begin{displaymath}\Delta y \, = \, dy + \epsilon\, \Delta x\end{displaymath}

donde $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$ conforme $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$. 

Ahora consideremos una función de dos variables $\,z\, = \, f(x, y)\,$. 
Si $\,x\,$ y $\,y\,$ son incrementados $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$, entonces el correspondiente incremento de $\,z\,$ es 
\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\end{displaymath}

Con lo cual $\,\Delta z\,$ representa el cambio en el valor de $\,f\,$ cuando $\,(x, y)\,$ cambia a $\,(x + \Delta x, \; y + \Delta y)\,$.


Ejercicios de Aplicación


y= f(x) = x² +1 Þ de 2 a 2,4
y= f(x) = 3x +2 Þ de 3 a 3,4
y= f(x) = x³ Þ de 1,8 a 2,4 

publicadas por Unknown @ 5:59 p.m.   0 Comentarios

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